Biểu diễn trong hệ thập phân và các hệ cơ số khác

Khi biểu diễn số hữu tỉ theo hệ ghi số cơ số 10 (dạng thập phân), số hữu tỉ có thể là số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn và ngược lại.

Một phân số tối giản với mẫu dương và mẫu không có ước nguyên tố nào ngoài 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn

VD: phân số 2 25 {\displaystyle {\frac {2}{25}}} có mẫu số là 25 = 5 2 {\displaystyle 25=5^{2}} không có ước nguyên tố nào khác 5 nên có thể viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn 2 25 = 0 , 08 {\displaystyle {\frac {2}{25}}=0,08}

Một phân số tối giản với mẫu dương và mẫu có ít nhất 1 ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Ví dụ 1: phân số 5 7 {\displaystyle {\frac {5}{7}}} có mẫu số là 7 nên được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

5 7 {\displaystyle {\frac {5}{7}}} = 0 , 71428571428571428571428571428571... {\displaystyle =0,71428571428571428571428571428571...\,} = 0 , ( 714285 ) {\displaystyle =0,(714285)\,}

Ví dụ 2: phân số 24 17 {\displaystyle {\frac {24}{17}}} có mẫu số là 17 nên được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn
24 17 {\displaystyle {\frac {24}{17}}} = 1 , 4117647058823529411764705882353... {\displaystyle =1,4117647058823529411764705882353...\,} = 1 , ( 4117647058823529 ) {\displaystyle =1,(4117647058823529)\,}

Dãy các chữ số lặp lại trong biểu diễn thập phân của các số thập phân vô hạn tuần hoàn được gọi là chu kỳ, và số các chữ số trong chu kỳ này có thể chứng minh được rằng không vượt quá |b|.

Một cách tổng quát, trong một hệ cơ số bất kỳ, các chữ số sau dấu phẩy của số hữu tỉ là hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.

Biểu diễn bằng liên phân số:

Một số thực là số hữu tỉ khi và chỉ khi biểu diễn liên phân số của nó là hữu hạn.